如果我们读懂了空间和时间的互换，便能读懂时空的相对性

从一到无穷大 /**/

第五章 时空相对性

1.空间与时间的互换

尽管我们借用数学将空间和时间归进同一个四维世界的尝试，并没有完全消除距离与间隔的差别，但相比在爱因斯坦之前的物理学理论对两个观念的认识，这些尝试已经揭示出了它们之间的许多共通之处。

其实，事件的空间距离与时间间隔，理论上不过是这些事件的基本四维间隔在空间轴和时间轴上的投影，所以，只要旋转四维坐标系，就会导致空间距离和时间间隔相互转换。但是四维坐标系的旋转又意味着什么呢？

首先请参考图34a中显示的由两组空间坐标组成的坐标系，假设有两个固定点，它们之间的距离为L，将这段距离投影到两条坐标轴上，我们发现两个点在第一条坐标轴上的距离为A，在第二条坐标轴上为B。

如果我们将坐标轴转动一定的角度（图34b），同样的距离L在新的坐标轴上的投影就会和之前的不同，我们用A’和B’表示。然而，根据毕达哥拉斯定理，两个投影距离的平方和的平方根在旋转前和旋转后仍旧相同，因为它们都等于两个点之间的实际距离，不会因坐标轴的旋转而改变。因此有：

==L

所以我们说，投影距离的平方和的平方根不随坐标旋转而改变，而投影距离本身则取决于坐标系的选取。

现在我们将坐标系中的两条坐标轴分别对应空间距离和时间间隔。此时两个固定点变成了两个固定的事件，而轴上的两个投影分别表示它们在空间和时间上的间隔。我们就以上一章中提到的银行抢劫和撞机事件为例。

我们可以画一张图（图35a），就像表示空间坐标的坐标系那样（图34a）。那么，如果要旋转坐标轴，我们需要做些什么呢？这个答案会出乎意料，甚至是匪夷所思的：如果你想旋转时空坐标轴，就要先坐上一辆公交车。

好吧，假设在7月28日这个多事之日的早晨，我们真的坐在一辆行驶在第五大道的公交车的上层。我们首先感兴趣的，是银行抢劫事件的发生地点和撞机时间的发生地点距离公交车有多远，因为这个距离决定了我们是否能看到这两起事件。

现在请看图35a，公交车世界线的连续位置以及抢劫事件和撞机事件的发生位置都标示在了上面，你会立刻注意到这些距离与我们日常生活中的距离——比如说站在街角的交警记录下的距离——是不同的。

公交车在沿着大道前进，每3分钟通过1个街区（这样的速度在纽约繁重的交通中是司空见惯的！），从公交车的视角来看，两个事件的空间距离在逐渐缩短。实际上，9点21分公交车正穿过52号大街，此时正在发生的银行抢劫事件距此有两个街区远；到了撞机发生的时刻（9点36分），公交车在47号大街，与撞机现场相距14个街区。因而，如果以相对于公交车的距离计算，我们可以得到抢劫和撞机两起事件之间的空间距离是14−2=12个街区，但如果使用城市建筑为参考的话，实际上这两起事件的距离是50−34=16个街区。

再看一下图35a，我们发现在公交车上记录的距离不能像过去那样从纵轴（交警的世界线）来计量，而应该从表示公交车的世界线的斜线来计量，因此后者扮演的是新时间轴的角色。

总结一下刚才讨论的“琐琐碎碎”：在运动的物体上观测事件时，绘制的时空图的时间轴应旋转一定的角度（该角度取决于物体的运动速度），而空间轴保持不动。

这一说法，从经典物理学和所谓的“常识”的角度来看是不渝的真理，但在牵涉到四维时空世界时却不成立了——如果时间是独立的第四维度，那么时间轴应该永远垂直于三个空间轴，无论我们是在公交车上还是电车上，哪怕是走在人行道上！

此时我们只能遵从这两种思路的其中之一：我们可以保持我们对空间和时间的传统观念，放弃任何对统一时空几何学的进一步思考；或者，我们必须打破被“常识”统领的旧观念，假设我们时空图中的空间轴也会随着时间轴一同旋转，从而保证两者之间永远互相垂直。（图35b）

但是，还记得我们前面讨论过的，旋转时间轴意味着两个事件的空间间隔会产生不同的值（上例中12和16个街区），同样地，旋转空间轴意味着，在运动的物体上观测两个事件的时间间隔也会与在地面上的静止点观测的时间间隔不同。

如果以市政大楼上的时钟为准，银行抢劫事件和撞机事件之间应该是相隔15分钟，但是从公交车上的乘客戴着的腕表上读出的时间间隔却有所不同——这不是由于机械装置的瑕疵造成的走时不准的问题，而是因为时间本身在不同运动速度的物体中流逝的速率就不同，从而导致机械装置记录的时间也相应地变慢了。尽管以公交车的低速度来说，这种迟缓几乎可以忽略不计。（本章后面的内容将对此进行深入讨论）

再举一个例子，想象一位正在行驶的火车的餐车里吃晚饭的男人。从餐车侍者的视角来看，这个男人在同一个地方享用了他的开胃酒和点心^[1]（靠窗的第三张桌子）。但如果分别从两位站在静止的铁道旁向车内张望的两位道岔工的视角看，却是一个人看到他在喝开胃酒，另一个人看到他在吃点心——这两件事之间相隔了几千米的距离。

因此我们可以说：从一个观察者的视角来看发生在相同地点不同时间的两个事件，对于处于不同的运动状态的另一个观察者来说，发生的地点是不同的。

反过来，基于我们理想的时空等效的说法，将叙述中的“地点”与“时刻”互换，得到的结果是：从一个观察者的视角来看发生在相同时间不同地点的两个事件，对于处于不同的运动状态的另一个观察者来说，发生的时间也是不同的。

把这段话放进餐车的例子中就是，侍者看到分坐在餐车两头的两位乘客同时在饭后点起了一支烟，但这个描述从驻足在轨道旁的道岔工的嘴里说出会变成“这位乘客点了支烟，刚才前面那位乘客也点了支烟”。所以，对一位观察者而言同时发生的两个事件，在另一位观察者看来这中间可能是存在时间间隔的。

这些都是四维几何学的必然结果：空间和时间只是恒定不变的四维距离在其对应的轴上的投影。

2.以太风，和天狼星之旅

现在请问问自己，是否愿意为了使用这种四维几何学的语言，而在我们已经适应了的旧的时空观中引入革命性的变化？

若答案是肯定的，那我们挑战的，将是基于两个半世纪以前伟大的物理学泰斗艾萨克·牛顿（Issac Newton）对时间和空间的定义所建立起的整个经典物理学体系——即“绝对空间，就其本质而言，与任何外在事物无关，总是恒定不变，不会运动”以及“绝对的、真实的数学时间，本质上是在均匀地流逝，与任何外在事物都无关”。

显然牛顿在写这些话的时候没有考虑过他在陈述什么新的观点，更没想过会引起什么争论，他只不过是将时空观念用精确的语言描述出来而已，任何有常识的人都会觉得这是理所当然的。事实上，正是由于人们对经典时空观如此地深信不疑，它才会被哲学家认为是先验的，也没有任何科学家（更不用说门外汉了）考虑过这一观念会不会是错的，是否需要重新检验和陈述。

那么，既然如此，为什么现在又要提起这个问题呢？

答案是：人们之所以放弃经典的时空观，将其统一为单一的四维图景，不是出于爱因斯坦式的纯粹美学的欲求，也不是爱因斯坦那天才的数学头脑所主张的，而仅仅是因为经典的独立时空图景已经无法解释我们在实验研究中不断得出的事实了。

对这座美丽夺目的、看似永恒的经典物理城堡的第一次冲击，是1887年美国科学家A.A.迈克尔逊（Albert Abraham Michelson）的一次看似平常的实验，这次实验几乎撼动了这座精巧的城堡的每一块石头，推倒了它的每一堵墙，就如同耶利哥的城墙在约书亚的号角下颤动一样^[2]。

迈克尔逊实验的设想很简单，不过是基于光是运动在“光介质以太”（一种假想的充斥在整个空间中，占据物质的每个原子之间的空隙的东西）中的一种波这样一个物理图景。将石块扔进池塘，水波会向四周扩散，以此类推，明亮物体发出的光应当同样会向四周传播，振动的音叉发出的声音也应如此。然而，水面的波反映的是水中的粒子的运动，声波是声音在穿过空气或其他物质时产生的振动，但我们却找不到任何承载光波的物质介质。事实证明，光能轻易地穿过空间（相比声音），但空间似乎是完全虚无的！

在完全虚无的状态下谈论振动，这显然是没有逻辑的，因此物理学家只好创造了一个新的概念“光介质以太”，以便在解释光的传播时，能在“振动”一词前加上一个主语。单从纯粹的语法角度而言，“光介质以太”的存在不可否认。但是——这个“但是”要大声地说出来——语法规则没有，也无法告诉我们，为了构建正确的句子而必须创造出来的主语究竟有什么物理性质！

如果我们只是说“光是以波的形式在光以太中传播的，‘光以太’就是光波的介质，我们说的是绝对的真理！”，这也不过是絮絮叨叨的复述罢了。要了解光以太是什么，它有怎样的物理性质，这是完全不同的问题。此时语法（更不用说希腊语了！）根本帮不上忙，答案必须从物理科学中得出。

在接下来的讨论中我们可以知道，19世纪物理学研究中最大的错误，就是假设光以太的性质与我们熟知的普通的物理实体的性质是极其相似的。人们总是讨论到光以太的流动性、刚性、各种弹性，甚至说到它的内摩擦。也就是说，一方面，光以太在承载光波时是一个振动的固体^[3]，另一方面，它对天体的运动又没有起到任何阻碍作用，显示出完美的流动性，就像火漆之类的物质一样。

然而众所周知的是，火漆及类似的物质在高速的机械力冲击下极易碎裂，但如果静置足够长的时间，它又能像蜂蜜一样自行流动。^[4]以此类比，旧的物理学猜想，这种充满整个星际空间的光以太，在面对高速传播的光时表现为坚硬的固体，而在面对运动速度约为光速千分之一的行星和恒星时，又表现得像完美的液体一样，能够轻易被它们推开。

用这种拟人化的思考方式，试图将一种我们除了名字以外一无所知的东西归结于我们已知的普通物质的性质，这件事从一开始就是大错特错的。况且，无论进行了多少次尝试，我们都没有得到关于这种神秘的光波传播介质的性质的任何力学解释。

以我们现有的知识我们可以轻易看出这些尝试错在哪里——我们知道普通物质的所有力学性质都可以追溯到构成它们的原子之间的相互作用上，例如水的高流动性是因为水分子间几乎没有摩擦，橡胶的弹性是因为橡胶分子能够轻易变形，而钻石的硬度则是缘于构成钻石晶体的碳原子被紧紧束缚在刚性结构中。因此，各种物质的所有的共同力学性质都是缘于它们的原子结构，但这条规律用在光以太这种被认为是绝对连续的物质上就毫无意义了。

光以太是一种特殊的物质，它和我们通常所说的已经为人熟知的物质原子的嵌套方式毫无相似之处。我们可以说光以太是“物质”（仅仅是因为它是动词“振动”的主语），也可以说它是“空间”，不过要记住，我们已经说过，之后还会提到，空间具有某种形态或结构特性，因而比欧几里得几何中的概念要复杂得多。事实上，现代物理中对“光以太”（不谈它的那些所谓的力学性质的话）的表述和“物理空间”是同义的。

我们已经扯太远了，居然开始从哲学的角度分析“光以太”了，现在我们得赶紧回到迈克尔逊的实验上去。

如前文所说，这个实验的设想很简单。如果光是穿过以太的波，那么在地面设置的仪器测得的光速必然会受到地球在空间中的运动的影响。也就是说，当我们站在地球表面，面朝地球围绕太阳运行的方向，我们应该能感受到“以太风”扑面而来，就像站在快速航行中的船的甲板上的人能感受到海风在拍打着他的面颊一样，即使当时的天气是无风的。

当然，我们感受不到“以太风”，因为它被认为是可以毫无阻碍地穿过构成我们身体的原子之间的空隙的，但我们应该能通过测量与我们运动相关的不同方向上的光速来探测到它的存在。大家都知道，声音顺风传播的速度要快于逆风传播的速度，那么光在以太风中传播的情况也应当是一样。

基于这一点，迈克尔逊教授设计了一套仪器，它能记录下向各个方向传播的光的速度上的差别。要实现这一点，最简单方法显然就是利用上文中描述过的菲佐的仪器（图31c），通过将其转向多个方向来完成一系列的测量。但这不是个理想的办法，因为每一次测量都要保证很高的精确度——由于我们预估的速度差（等于地球的公转速度）仅有光速的万分之一，我们必须以极高的精度进行测量。

如果你有两个差不多长的棍子，想知道它们之间的长度差具体有多大，只需要将其并排放置，一端对齐，测量另一端的差度即可。这就是所谓的“零点”法。

迈克尔逊所使用的仪器的原理图如图36a所示，就是应用了这种零点法，来比较相互垂直的两束光的速度。

仪器的中心部件是一块玻璃片（B），覆有薄薄的一层半透明的银涂层，能反射50%的光，另外50%的光则会直接透过去。因此，来自光源A的光束被等分成了两部分，这两束光分别经与中心部件B距离相等的镜面C和镜面D反射，最终又回到B。

同样地，从D返回的光束中会有一部分穿透银涂层，而从C返回的光束中也会有一部分被涂层反射，这样一来，原本分离的两束光就再度会聚到观测者的眼中了。根据当时已知的光学定律，这两束光会相互干涉，形成一系列肉眼可见的明暗条纹。^[5]如果BD和BC的距离相等，那么两束光就会同时返回到中心部件，因此明条纹应该处于画面的中央。如果这两个距离发生了微小的改变，导致一束光延迟到达，那么条纹就应该会向左或向右移动。

既然仪器是放置在地球表面的，而地球正在太空中飞速地运动，那么我们可以理所当然地猜测以太风正以等同于地球的运动速度吹过仪器。

假设以太风是由C吹向B的（图36b），想一想，这两束光线汇聚的时候会有什么不同？

不要忘了，其中一束光是先逆风前进，再顺风返回，而另一束则是横穿过风的。哪一束会先返回呢？

设想有一条河，一艘汽艇逆流而上，从码头1到码头2，然后再顺流而下回到码头1。水流在前半程起到了阻碍作用，而后半程则助了汽艇一臂之力。

或许你认为这两个效应会互相抵消吧，但事实并非如此。为了理解这一点，可以想象这艘船是以与水流相同的速度在行进，这样从码头1出发的船将永远到不了码头2！

不难看出水流的存在使得航程的时间增大了一个因子：

v是船的速度，V是水流的速度。^[6]因而，如果船速是水流速度的10倍，回程会耗时：

===1.01（倍）

就是比船在静水中的情况要多花1%的时间。

同样地，我们也能计算出横穿河流航行时的时间延迟。这个延迟主要是因为船从码头1到码头3时，必须要沿一条倾斜的线路行驶，以补偿流水造成的漂移。此时延迟要小一点，由以下因子决定：

也就是说，这种情况的耗时只比在静水中多出0.5%。要证明这个公式是很容易的，好学的读者可以自己去尝试。现在，把河流换成流动的以太风，把船换成行进的光波，把码头换成仪器尽头的两面镜子，你就会明白迈克尔逊实验的原理了。从B到C再返回B的光束会有延迟因子：

c是指以太中的光速，而从B到D再返回B的光速的延迟因子是：

因为以太风的速度等于地球的运动速度，为30千米/秒，光速是3×105千米/秒，那么两束光应该分别延迟0.01%和0.005%。因此借助迈克尔逊的仪器，顺着以太风前进的光速和逆着以太风前进的光速之间的差异就能很轻易地被观测到。

你大概可以想象迈克尔逊的诧异，在进行实验时，他没有看到干涉条纹的哪怕一丁点偏移！

显然以太风对于顺着它传播或横穿过它的光的速度没有任何影响。

迈克尔逊震惊了，他本人起初并不愿接受这一事实，但重复进行实验后，结果依然如此，即使令人惊异，他最初得到的结果也是对的。

这个意料之外的结果的唯一可能解释是一个听起来很大胆的假设——安装了迈克尔逊镜面的那张巨大石桌在地球运动的方向发生了轻微的收缩[所谓的斐兹-杰惹收缩（Fitz-Gerald contraction）^[7]]。事实上，如果距离BC收缩了因子：

而距离BD未发生改变，两束光的延迟将会相等，干涉条纹也就不会发生预想中的偏移了。

但是“迈克尔逊的桌子发生了收缩”这种可能提出来容易，解释起来却让人无从下手。诚然，我们遇到过物体在有阻力的介质中运动时发生收缩的情况，例如横渡湖泊的汽艇，就会在船尾的螺旋桨产生的动力和船头受到的来自水的阻力的双重作用下，发生轻微收缩。但这种机械收缩的程度取决于制造船的材料的强度，钢制的船受到挤压的影响要比木制的小。

然而在迈克尔逊的实验中，造成这种压缩的决定因素只可能是运动速度，并不涉及材料的强度，即使装有镜子的桌子不是由石头制成，而是铸铁、木头或其他材料，收缩的量仍旧是一致的。

显而易见，我们遇到的是一种普适效应，它让所有运动的物体都收缩了相同的大小。或者，用爱因斯坦教授在1904年的话描述这一现象：我们遇到的是空间本身的收缩，而以相同速度运动的所有物体的收缩程度之所以相同，仅仅是因为它们被限制在同一个收缩的空间内。

前两章（第三章，第四章）中我们已经论述了不少关于空间的性质，所以这一陈述听起来是成立的。为了说明得更清楚些，可以把空间想象成类似具有弹性的果冻那样，我们能清楚地看到里面各种物体的边界。当空间受到挤压、伸展或扭曲变形时，所有限制在其中的物体也会自动发生同样的变化。必须将这种由空间变形引起的物体的变形，与物体因受到外力而引起的内部的应力变形区分开。图37显示了这种情况的二维模式，以便帮助理解这二者之间的重要区别。

然而，尽管空间收缩的效应是理解物理学基本原理的重要基石，在日常生活中却很难被注意到，因为即使是我们生活中经历的最高的速度，相较于光速依然是小到可以忽略不计的。比如，一辆时速50英里的汽车收缩的长度因子是=0.999 999 999 999 99，仅相当于汽车车身的一个原子核的长度！一架以600英里/时飞行的喷气式飞机也不过是收缩了约一个原子的长度，而一枚以25 000英里/时的速度航行的长度为100米的星际火箭，其缩减的长度也只有0.01毫米。

不过，如果物体能以光速的50%、90%或99%运动，它们的长度就会分别缩减到静止时物体长度的86%、45%和14%。

一位无名作者所写的打油诗，很好地描述了快速运动的物体受到的相对性收缩的效应：

年轻小伙菲斯克，

剑术敏捷声名赫，

无人能追他动作，

斐兹杰惹空间缩，

长剑变成短刀个。

想必这位“菲斯克先生”的出剑速度一定是如闪电般快啊！

从四维几何学的角度来看，观测到的所有运动物体的普遍收缩，可以简单解释为它们不变的四维长度的空间投影因时空坐标轴旋转而引起的变化。你一定还记得前一部分的讨论吧，在运动体系中进行观测时，因速度不同，坐标中的空间轴和时间轴必须要转动一定的角度才能描述一件事情的始末。因此，如果有一个四维间隔百分之百地投影在了静止坐标系的空间轴上（图38a），那么它在新的时间轴上的空间投影（图38b）一定会更短。

还要注意一个很重要的点，我们所预想的这个长度缩短只与两个系统间的相对运动有关。如果我们认为一个物体是与第二个坐标系统相对静止的，也就是说它在新空间轴上表示为一条不变的平行线，那么它在原空间轴上的投影也会缩短相同的比例。

因此，判定哪个系统是在“真正地”运动是没必要也没有物理意义的，有意义的只是它们之间的相对运动。如果未来有两艘某“行星际通信有限公司”的载人火箭飞船在地球和土星之间的某地相遇了，二者同以高速飞行，其中一艘飞船上的乘客会透过舷窗看到另一艘飞船明显地收缩了，但他们不会注意到其实自己搭乘的飞船也在收缩。我们去争论哪艘飞船“真的”收缩了毫无意义，因为无论从哪艘飞船上的乘客的视角看，另一艘都是收缩的，而自己乘坐的飞船都没有收缩。^[8]

四维时空同样让我们明白了，为什么只有在物体的运动速度接近光速时，它们的相对性收缩才会变得显著。

事实上，时空坐标轴旋转的角度，是由运动系统走过的距离与其所需的时间之比决定的。如果我们以英尺为单位测量距离，以秒为单位测量时间，这个比率就是我们常用的速度单位英尺/秒。但因为四维世界的时间间隔是用普通的时间间隔乘以光速来表示的，决定旋转角的比率，实际上是以英尺/秒为单位的速度除以相同单位下的光速。因此旋转角度及其对距离测量的影响，只在两个运动系统间的相对速度接近光速时才变得显著。

与影响长度测量的方式相同，时空坐标轴的旋转还影响了时间间隔的测量。可以确定的一点是，由于第四坐标的虚数本质^[9]，当空间距离缩短时，时间间隔会变长。如果你有一个闹钟，把它装在快速行驶的汽车上，它发出的“嘀答”声的间隔会变长，走得也会比在地面上慢一些。同长度的缩短一样，运动时钟的变慢也是一种普适效应，它只与运动速度有关——无论是现代的腕表还是祖父那有摆的旧样式座钟，甚至是流淌着沙粒的沙漏，在相同的运动速度下都会减缓相同的时间。

这种效应当然不会只限于我们所说的“钟”和“表”这样的特殊机械，实际上所有的物理、化学和生物过程都会减缓相同的程度。所以不必担心你在快速航行的火箭飞船里煮蛋时，会因为手表变慢而煮过头，因为鸡蛋变熟的过程也会相应地变慢，所以依照你的手表将鸡蛋放在沸水里煮5分钟，你还是会得到我们平时的“五分钟蛋”^[10]的。

在这个例子里我们用火箭飞船做背景而不是用火车的餐车，是因为就像长度收缩的例子所示的那样，时间的膨胀也只会在速度接近光速时才凸显出来。时间膨胀的因子与空间收缩相同，也是

区别是该因子用在空间收缩中是相乘，而用在时间膨胀中是相除。如果物体运动得飞快，以至于长度缩短为原来的一半，那么相应的时间间隔就会增长至原来的两倍。

运动系统中时间速度的减缓在星际旅行中会有一个有意思的影响：如果你决定拜访天狼星^[11]的一颗卫星，这颗卫星距离太阳系有9光年，你乘坐一艘速度和光速一样快的火箭飞船，理所当然地，所需的往返时间自然至少要18年，于是你打算携带大量的食物。但事实却是，如果你的飞船真的能让你以近乎光速的速度航行，那么这种预防措施就完全是多余的。因为如果你以99.999 999 99%的光速行进，相应地，你的腕表、你的心脏、你的肺、你的消化系统以及你的思维，都会减缓至现在的1/70 000，所以往返天狼星所需的18年（从留在地球上的人的视角看），于你而言只不过是几个小时而已。倘若你在早饭后从地球出发，那么当你的飞船着陆在天狼星的某颗行星上时，你才刚想吃午饭而已。如果你着急返回地球，午饭后就出发，那么你很可能来得及赶回到地球吃晚饭。

不过还有一点，如果你忘记了相对论原理，你到家的时候一定会大吃一惊——在你迷航在星际空间的这段时间里，你的亲朋好友已经吃过6 570顿晚餐了！因为你是以如此接近光速的速度在旅行，18个地球年在你看来不过是1天而已。

但如果说尝试超越光速呢？这个问题的部分答案可以在下面的另一首关于相对性的打油诗里找到：

年轻女子布莱特，
步履如风快过光。
一日启程出游去，
爱因斯坦指点说，
昨夜早已归家来。

的确，如果速度接近光速时运动系统里的时间就会变慢，那超光速就应该能让时间倒流啊！除此之外，由于毕达哥拉斯根式中算术符号的变换，超光速系统中的时间坐标会变为实数，表示空间距离，而长度则会穿过零而变成虚数，表示时间间隔。

如果这是可能的，那么图33中展示的爱因斯坦将尺子变成闹钟的行为，便也能成真，只要他的速度超过光速就行！

然而，纵使物理世界再疯狂也不会如此夸张，这种黑魔法一样的表演自然是不可行的。简而言之就是，任何物体的运动速度都不可能等于或超越光速。

这一基本自然规律的物理基础在于，大量的直接实验^[12]证明，当运动物体的速度接近光速时，它们的所谓惯性质量，也就是测量到的它们对加速过程的机械阻力，将增长到无限大。因此，如果一颗左轮手枪的子弹以99.999 999 99%的光速运动，那么阻止其自身继续加速的阻力将相当于12英寸的炮弹的质量。也就是说，当速度达到99.999 999 999 999 99%的光速时，这颗小小的子弹所受阻力，将相当于满载的卡车的质量的惯性阻力，此时无论再给这颗子弹加上多大的力，我们都无法征服小数点后的最后一位数，让它的速度恰好等于宇宙中所有运动的速度上限！

3.弯曲空间，和引力之谜

在磕磕绊绊地读完上面十几页有关思维坐标系的内容后我们可怜的读者一定十分难受，对此我深表歉意，现在我邀请各位去弯曲空间散个步。

大家都知道曲线和曲面是什么，但“弯曲空间”的表述有什么含义？

想象这一现象的难处不在于这个概念的古怪，而在于，我们能够轻易地从外部观察曲线和曲面，但因为我们身处三维空间中，所以观测三维空间的弯曲只能从内部进行。为了尝试理解，三维的人类应该如何思考我们所居住的空间的弯曲问题，请让我们首先换位思考一下，居住在平面上的二维阴影生命会如何设想这种假想情况。

在图39a和39b中我们看到，在“平面世界”和“曲（球）面世界”上的阴影科学家正在研究他们的二维空间的几何学。他们能够研究的最简单的几何形体必然是三角形——这个由三条直线段连接三个几何点构成的简易图形。大家在中学时就已经知道了平面上任何三角形的内角和都是180°，但不难看出，这一定理并不适用于球面上的三角形。确实，一个由两条经线和一条纬线（这里借用了地理学的概念）组成的球面三角形，本身就有两个直角，而另一个角可以是0°到360°之间的任一角度。例如图39b中的两位阴影科学家研究的三角形，其三个内角的和就是210°。因此我们可以看到，只需测量二维世界中的几何形体，阴影科学家就能发现平面的曲率，而不用特地跑到外面来看。

在“平面世界”和“曲面世界”上的二维科学家对有关三角形内角和的欧几里得定理进行核验。

将上述观测应用到更高维度的世界里，我们就可以自然而然地得出结论：居住在三维空间里的人类科学家，可以通过测量空间中三条直线间的角度就轻松得到空间曲率，而不用跳到四维空间去看——如果这三个角之和是180°，那么说明空间是平的，否则就证明我们的空间是弯曲的。

但是在我们进一步探讨这些之前，我们需要搞清楚直线这个表述究竟是什么意思。请看图39a和39b中显示的两个三角形，读者可能会说：“尽管平面上的三角形（图39a）的三边确实是直线，但球面上的三角形（图39b）的三边是弯曲的啊，是围绕球面的大圆^[13]上的一段弧。”

像这样基于我们常识的几何概念，会使得“阴影科学家”无法发展出二维空间的几何学。对直线的概念需要一个更普适的数学定义，使它不仅能在欧几里得的几何学中成立，还能扩展到性质更复杂的表面或空间中去。这样的普适定义可以是：“直线”是两点之间的最短距离，这两点取决于它们所在的表面或空间。在平面几何中，上述定义自然是与我们通常认为的直线一致；而在更复杂的弯曲表面上，这样的“直线”则有许多条，它们在自己的空间中与欧几里得几何中的“直线”扮演着相同的角色。为避免产生误解，我们通常将曲面上表示最短距离的线条称为测地线，这一说法最初源自大地测量学，也就是测量地球表面的科学。事实上，当我们谈及纽约和旧金山之间的直线距离时，我们想象的是沿着地球表面的弧度像乌鸦一样“笔直地飞过”，而不是有个巨大的钻头钻开地球从内部直接达到。

上述对“广义直线”或“测地线”的定义，即两点间的最短距离，向我们展示了画出“直线”的简单物理方法——在两点间拉起一根绳子。如果你在平面上这么做，你会得到我们通常认为的直线；如果你在球面上拉绳子，则会发现，绳子将沿着球面的大圆弧伸展，也就是球面的测地线。

我们也可以通过类似的方法来获知，我们所生活的三维空间究竟是平坦的还是弯曲的。我们所要做的，只不过是选取空间中的三个点，在它们之间拉上一条绳子，然后看看形成的三角形的三个内角和是不是180°。但是为了做成这个实验，我们必须记住两点：其一，实验必须在大尺度上进行，因为即使是弯曲表面或空间中的一小部分，看上去也可能是很平坦的，显然我们不能只在自家后院做实验就得出地球的曲率！其二，表面或空间上可能会有某些区域是平坦的，因而我们有必要进行全面的测量。

爱因斯坦在创立广义弯曲空间的理论时，提出了一个伟大的假设：临近大质量物体的物理空间会发生弯曲，质量越大，曲率越大。为了证明这个假设，我们可以在一座高山周围钉上三根木桩，用绳子两两连接每根木桩（图40a），然后测量每两条绳子相交的角度。你尽管去挑一座最大的山——甚至是喜马拉雅山脉中的一座，最终你会发现，在允许的测量误差范围内，绳子相交的角度之和会正好等于180°。

然而，这并不意味着爱因斯坦就是错的——大质量物体不会弯曲周围的空间。这可能仅仅因为，即使是喜马拉雅山脉，其弯曲周围空间的程度也无法用我们最精密的仪器测量出来。还记得伽利略在尝试用带遮光板的灯测量光速时遭遇的失败吧！（图31）

因此，不必灰心，你可以用更大质量的物体做尝试，例如太阳。

啊哈，这下就成功了！如果你在地球和两颗恒星之间连上绳子，将太阳围在三角形之中，你就会发现这个大三角形的内角和显然不等于180°。当然你没有这么长的绳子，不过你可以用一束光代替，其效果也很好，因为光学告诉我们，光总是走最短的路径。

图40b示意了用光线来测量角度的实验。位于太阳盘面两端（观测时的位置）的恒星S_I和S_II的两束光汇聚在经纬仪中，这样就可以测出它们的夹角。稍后，等太阳移开这片区域时再重复一次实验，重新测量两颗星的夹角。如果前后两次测量出的夹角不同，我们就可以证明，太阳的质量的确弯曲了其周围的空间，使光线从它们原来的路径偏转。这个实验最早由爱因斯坦提出，用来检验他自己的理论。读者可以通过图41中的二维类比来更好地理解这个实验。

显然，在正常情况下进行爱因斯坦的实验有一个实际障碍：太阳的光线太强，你无法看到它旁边的星星。不过在发生日全食的时候，这些星星就清晰可见了。基于这一想法，1919年，一支英国天文远征队在普林西比群岛（西非，今属圣多美和普林西比共和国）观测日全食时^[14]，完成了这个实验，这也是那一年发生的最适合观测的日全食。在有太阳和没有太阳时，两颗星的角度差是1.61″±0.30″，而爱因斯坦的理论预言的是1.75″。在后续的多次观测中，也获得了相似的结果。

诚然，1.5″的角度差并不大，但这足以证明，太阳的质量确实能导致周围的空间发生弯曲。

或者，除了太阳以外，我们还可以用更大质量的恒星做测量，这样得到的三角形的内角和，与180°就会相差几分，甚至是几度。

作为内部观测者，想要理解弯曲的三维空间的概念需要一些时间和想象力，但只要想明白了，你就会发现，它和其他的经典几何概念一样清晰明朗。

现在，为了完全理解爱因斯坦的弯曲空间理论及其与万有引力的根本问题之间的关系，我们只需要再迈进一步。首先我们必须记住，刚才探讨的三维空间只是承载了一切物理现象的四维时空的一部分，因而，空间弯曲只不过反映了四维时空中更普遍的弯曲，而表示光和物体运动的四维世界线，在超空间中也势必要看作曲线。

从这一观点出发，爱因斯坦得到了惊人的结论，即引力现象只不过是四维时空世界弯曲所产生的效应。实际上，我们现在可以摒弃“行星直接受到太阳的作用力而以圆形轨道围绕其运行”这一不合时宜的陈旧观点了。^[15]更准确的描述是：太阳的质量弯曲了其周围的时空，而行星的世界线之所以如图30中所示的样子，只是因为这是它们在弯曲空间中前进的测地线。

因此，“引力是一种独立的力”这一概念彻底从我们的头脑中消失了，取而代之的是：纯粹几何空间中的所有物体，在因大质量物体的存在而造成的弯曲空间中，都沿着“直线”或者说测地线运动。

4.闭合和开放空间

在简要讨论爱因斯坦的时空几何学中的另一个重要问题之前，我们还不能结束本章：有限和无限宇宙的佯谬。

至此，我们已经讨论了大质量物体对邻近空间造成的局部弯曲现象，也就是宇宙这张“大脸”上分散的一系列“空间粉刺”。但是，除了这些局部的变化外，宇宙这张“大脸”本身，究竟是平坦的还是弯曲的呢？

图42给出了二维的带有“粉刺”的平坦空间，与两种可能的弯曲空间的图示。所谓的“正弯曲”的空间，对应的是球面或其他的闭合几何面，它们无论朝向哪个方向，都是以“相同方式”弯曲的。反之，“负弯曲”空间则会在一个方向上向上弯曲，而在另一个方向上向下弯曲，就像马鞍。如果你在足球和马鞍上分别裁取两块皮革，尝试将它们摊平在桌子上，你就能清晰地认识到这两种弯曲的区别。你会注意到，两种皮革在不拉伸或不压皱的情况下，都无法摊平，不同的是，来自足球的那块皮革边缘必须要拉伸才能铺平，而来自马鞍的那块皮革则需要压皱——如果将来自足球的那块皮革中间摊平，那么其边缘就会缺少皮料；而来自马鞍的那块皮革的边缘却总是有多余皮料，所以必须将其压皱。

我们还可以换一种方法陈述这个观点。假设我们从某一点开始，分别数出周围1英寸、2英寸、3英寸等范围内的“粉刺”数量（沿着表面数），我们会发现，平面上的粉刺的数量与距离的平方成正比，如1、4、9等；球面上粉刺的数量的增长则会慢于平面；而“马鞍”面上粉刺数量的增长则比平面更快。因此，尽管居住在表面上的二维阴影科学家没法从外部观察出其所在的表面的形状，但还是能通过落在不同半径的范围内的粉刺数量来测出曲率。这里还需要注意的是，正弯曲和负弯曲的区别，还能通过测量其对应的三角形内角和来体现。如前文所言，球面上的三角形的内角和总是大于180°，而如果你在马鞍面上画一个三角形，你会发现，它的内角和总是小于180°。

上述讨论曲面的结论可以推广到三维空间的弯曲，我们会得到这样一张表：

这张表可以用来解答“我们居住的空间是有限的还是无限的？”这一问题——这个问题我们将在第十章中，介绍宇宙的尺寸时进行探讨。

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